数学学習の記録 91.2 関数列の収束、一様収束の違いについて。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数全部の集合Rの部分集合Eにおける関数列を

とする。そのとき、

この関数列が関数fに(単純、点別)収束する。

上記の関数列が関数fに一様収束する。

論理式を比較すればわかるように、ある関数列が関数fに一様収束するならばその関数列はfに収束するが、その逆は成り立たない(言葉で考えると、収束する場合はある自然数は任意のxに依存して定まる。一様収束する場合はxに依存せずに適当な自然数をとることができる。)。つまり、収束しても一様収束しない場合がある。