数学学習の記録 93.1 極限の順序の交換が可能なための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Iを区間とし、x_{0}を区間Iの点、そして集合Eを区間Iから点x_{0}を除いた集合とする。

$x_{0}\in I,E=I-\left\{x_{0}\right\}$

また、Eで定義された関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とし、この関数列はEにおいて一様収束するとする。

$\forall \varepsilon\in E\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\forall x\in E\\ \left[(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow\left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon\right]$

また、

$\forall n\in N\exists1 A_{n}\in R\left[\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f_{n}(x)}=A_{n}\right]$

が成り立つとする。

そのとき、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\forall x\in E\\ \left[(n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n)\Rightarrow\left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon\right]$

となり、

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f_{m}(x)}=A_{m},\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f_{n}(x)}=A_{n}$

であるから、

$\left|f_{m}(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon\Rightarrow \left|A_{m}-A_{n}\right|\leq\varepsilon$

よって数列

$\left(A_{n}\right)_{n\in N}$

はコーシー列なので、数学学習の記録 80.2 実数列が収束するための必要十分条件(コーシー列)について。より収束する。そこで、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{A_{n}}=A(A\in R)$

とおく。このとき、

$\exists n_{1}\in N\forall n\in N\left[n_{1}\leq n\Rightarrow\left|A_{n}-A\right|<\varepsilon\right]$

また、さらに

$n_{1}\leq n$

を満たすnに対して

$\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in E\\\left[|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow\left|f_{n}(x)-A_{n}\right|<\varepsilon\right]$

さらに仮定より、

$\exists n_{2}\in N\forall n\in N\forall x\in E\\ \left[n_{2}\leq n\Rightarrow\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon\right]$

以上の3つのことから、

$\forall x\in E\\ [|x-x_{0}|<\delta\Right\\ |f(x)-A|\\ =|f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-A_{n}+A_{n}-A|\\ \leq|f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-A_{n}|+|A_{n}-A|\\ <\varepsilon+\varepsilon+\varepsilon=3\varepsilon]$

よって、

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f(x)}=A$

すなわち、

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}{(\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)})}=\lim_{n\rightarrow\infty}{(\lim_{x\rightarrow x_{0}}{f_{n}(x))}$

が成り立つ。

以上を整理してまとめると、