数学学習の記録 93 関数級数が一様収束、絶対収束するための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数全部の集合Rの部分集合における関数級数を

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

とする。そのときある正項級数

$\exists1a\in R\left[a=\sum_{n=0}^{\infty}{M_{n}}\right]$

が存在し、

$\forall n\in N\forall x\in E[f_{n}(x)\leq M_{n}]$

が成り立つとする。このとき、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\forall m,n\in N\\ \left[n_{0}\leq m\leq n\Rightarrow \sum_{i=m}^{n}{M_{i}}<\varepsilon\right]$

が成り立つので、

$\forall x\in E\\ \left[\left|\sum_{i=m}^{n}{f_{i}(x)\right|\leq\sum_{i=m}^{n}{|f_{i}(x)|}\leq\sum_{i=m}^{n}{M_{i}}<\varepsilon\right]$

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}}$

は一様収束する。また、絶対収束である。

以上をまとめると、

実数全部の集合Rの部分集合における関数級数を

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

とし、ある正項級数

$\exists1a\in R\left[a=\sum_{n=0}^{\infty}{M_{n}}\right]$

が存在し、

$\forall n\in N\forall x\in E[f_{n}(x)\leq M_{n}]$

が成り立つならば、関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

は一様収束かつ絶対収束する。

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