数学学習の記録 95.2 n次元Euclid空間の点と超平面との距離について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

pをn次元Euclid空間

$R^{n}$

の点とする。また、nを法ベクトルとする超平面を

$n\cdot x=k(k\in R)$

とする。そのとき、ベクトルnと平行な点pを通る直線とこの超平面との交点を $x_{0}$ とすると、

$\exists1 t\in R\\ \left[p-x_{0}=tn\\ x_{0}=p-tn\right]$

となる。ここで、 $x_{0}$ は超平面の点なので、

$n\cdot (p-tn)=k\\ n\cdot p-t|n|^{2}=k\\ t=\frac{n\cdot p-k}{|n|^{2}}$

となる。このことから、

$|p-x_{0}|\\ =|tn|\\ =|t|\ |n|\\ =\left|\frac{n\cdot p-k}{|n|^{2}}\right|\ |n|\\ =\frac{|n\cdot p-k|}{|n|^{2}}|n|\\ =\frac{|n\cdot p-k|}{|n|}$

となる。

以上をまとめると、

pをn次元Euclid空間

$R^{n}$

の点とし、nを法ベクトルとする超平面を

$n\cdot x=k(k\in R)$

とすとき、点pとこの超平面との距離は

$\frac{|n\cdot p-k|}{|n|}$

となる。

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