数学学習の記録 95.4 ベクトル値関数の微分可能性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

区間Iで定義されたベクトル値関数(曲線)を

$f:I\rightarrow R^{n}\\ \forall t\in I\left[f(t)=\left(f_{1}(t),\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,f_{n}(t)\right)\right]$

とする。そのとき、

$\forall t\in I\exists1 x\in R^{n}\left[\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(t+h)-f(t)}{h}}=x\right]$

がなりたつとき、すなわち、全ての座標関数が区間Iで微分可能であるとき、

$\forall t\in I \forall n'\in \left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}\exists1 x'\in R\left[f_{n'}'(t)=x'\right]$

曲線は区間Iで微分可能という。このとき、

$\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=f'(t)=\frac{df}{dt}$

と記述する。また、区間Iの各点tに対してf'(t)を点f(t)における接ベクトルという。

$f(t)=\left(f_{1}(t),\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,f_{n}(t)\right)\\ f'(t)=\left(f_{1}'(t),\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,f_{n}'(t)\right)$

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