数学学習の記録 96.3 微分可能なベクトル値関数(曲線)の内積の微分可能性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを区間Iで定義された微分可能なベクトル値関数(曲線)とする。

$f:I\rightarrow R^{n}\\ g:I\rightarrow R^{n}$

そのとき、f,gの内積について、

$\frac{d}{dt}\left(f(t)\cdot g(t)\right)\\ =\frac{d}{dt}\left(f_{1}(t)g_{1}(t)+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +f_{n}(t)g_{n}(t)\right)$

$=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i=1}^{n}{f_{i}(t)g_{i}(t)}\right)$

$=\sum_{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(t)g_{i}(t)+f_{i}(t)g_{i}'(t)\right)}$

$=\sum_{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(t)g_{i}(t)\right)}+\sum_{i=1}^{n}{\left(f_{i}(t)g_{i}'(t)\right)}$

$=f'(t)\cdot g(t)+f(t)\cdot g'(t)$

よって区間Iで定義された微分可能な曲線(ベクトル値関数)の内積は微分可能で、

$\frac{d}{dt}\left(f(t)\cdot g(t)\right)=f'(t)\cdot g(t)+f(t)\cdot g'(t)$

が成り立つ。

Kamimura's blog