数学学習の記録 99.2 σ加法的な集合関数の性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合、Xの部分集合族 $\Re$ をX上σ集合環とする。

$\phi\ne\Re\subset P(X)$

$\forall A,B\in\Re[A\cup B\in\Re\wedge A-B\in\Re]$

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\left((A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)\right)$

$\left[\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in\Re\right]$

また、 $\varphi$ をσ集合環 $\Re$ 上でσ加法的な集合関数とする。

$\varphi:\Re\rightarrow\bar{R}$

$\varphi(\phi)=0$

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\left((A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)\right)$

$[\left(\forall i,j\in Z^{+}(i\ne j)[A_{i}\cap A_{j}=\phi]\right)$

$\Rightarrow\varphi\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\varphi(A_{i})}]$

そのとき、

$(A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)$

$A_{1}\subset A_{2}\subset\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \subset A_{n}\subset\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

という集合族を考える。この集合族から新たに、

$A_{1},A_{2}-A_{1},A_{3}-A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

という集合族を考えると、この部分集合族は可算分離集合族でさらに、

$A_{n}=A_{1}\cup\left(\bigcup_{i=2}^{n}(A_{n}-A_{n-1})\right)(2\leq n)$

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}=A_{1}\cup\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}(A_{n}-A_{n-1})\right)$

となる。また、 $\varphi$ はσ加法的な集合関数なので、

$\varphi(A_{n})=\varphi(A_{1})+\sum_{i=2}^{n}{\varphi(A_{n}-A_{n-1})}$

$\varphi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\varphi(A_{1})+\sum_{n=2}^{\infty}{\varphi(A_{n}-A_{n-1})}$

となり、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\varphi(A_{n})}=\varphi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)$

が成り立つ。

以上をまとめると、Xを集合、Xの部分集合族 $\Re$ をX上σ集合環とし、 $\varphi$ をσ集合環 $\Re$ 上でσ加法的な集合関数とするとき、

$(A_{n})_{n\in Z^{+}}(A_{n}\in\Re)$

$A_{1}\subset A_{2}\subset\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \subset A_{n}\subset\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

という集合族に対して、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\varphi(A_{n})}=\varphi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)$

が成り立つ。

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