数学学習の記録 107 可測単関数の積分の線形性について。 | Kamimura's blog

2010年3月1日月曜日

数学学習の記録 107 可測単関数の積分の線形性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、 $s_{1},s_{2}$ をA上の可測単関数とし、

$0\leq s_{1}\wedge 0\leq s_{2}$

とする。そして、sを

$s=s_{1}+s_{2}$

とする。

このとき、

$s_{1}(A)=\left\{c_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,c_{m}\right\}$

$E_{i}=\left\{x\in A|s_{1}(x)=c_{i}\right\}\ \ \ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,m)$

$s_{2}(A)=\left\{d_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,d_{n}\right\}$

$F_{j}=\left\{x\in A|s_{2}(x)=c_{j}\right\}\ \ \ (j=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n)$

とおく。また、

$G_{ij}=E_{i}\cap F_{j}$

とおき集合族、

$(G_{ij})$

を考えると、

$G_{ij}\in M$

すなわち、可測集合族でさらに、

$(i\ne i'\vee j\ne j')\Rightarrow G_{ij}\cap G_{i'j'}=\phi$

となるので、可測分離集合族となり、

$K_{E_{i}}=\sum_{j=1}^{n}{K_{G_{ij}}}$

より、

$s_{1}=\sum_{i=1}^{m}c_{i}K_{E_{i}}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}K_{G_{ij}}$

同様に、

$s_{2}=\sum_{j=1}^{n}d_{j}K_{E_{j}}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}d_{j}K_{G_{ij}}$

よって、

$s=s_{1}+s_{2}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(c_{i}+d_{j})K_{ij}$

となり、

$\mu(E_{i})=\sum_{j=1}^{n}\mu(G_{ij})$

$\mu(E_{j})=\sum_{i=1}^{m}\mu(G_{ij})$

より、

$\int_{A}s\ d\mu\\ =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(c_{i}+d_{j})\mu(G_{ij})$

$=\sum_{i=1}^{m}c_{i}\mu(E_{i})+\sum_{j=1}^{n}d_{j}\mu(E_{j})$

$=\int_{A}s_{1}\ d\mu+\int_{A}s_{2}\ d\mu$

となる。

以上をまとめると、

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とし、

$A\in M$

また、 $s_{1},s_{2}$ をA上の可測単関数で、

$0\leq s_{1}\wedge 0\leq s_{2}$

を満たすとして、sを

$s=s_{1}+s_{2}$

とおくと、

$\int_{A}s\ d\mu=\int_{A}s_{1}\ d\mu+\int_{A}s_{2}\ d\mu$

が成り立つ。

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