数学学習の記録 113 ルベーグ(Lebesgue)の単調収束定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、関数列、

$(f_{n})_{n\in Z^{+}}$

をすべてのnに関してA上の可測関数とし、

$\forall n\in Z^{+}\forall a\in R\\<br />\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

さらに、

$\forall x\in A\\<br />\left[0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}\leq\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \right]$

を満たすとする。

そのとき、

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{A}f_{n}\ d\mu=\int_{A}\lim_{n\rightarrow+\infty}f_{n}\ d\mu$

が成り立つ。

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