数学学習の記録 134 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問36 | Kamimura's blog

2010年4月1日木曜日

数学学習の記録 134 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問36

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問36を解いてみる。

問36

(1)

(x-2y)(x-3y)=0

x=2yのとき

$4y^{2}+2y^{2}+2y^{2}=56\\<br />y^{2}=7\\<br />y=\pm\sqrt{7}$

x=3yのとき

$9y^{2}+3y^{2}+2y^{2}=56\\<br />y^{2}=4\\<br />y=\pm2$

よって、

$x=\pm2\sqrt{7},\ \ \ y=\pm\sqrt{7}$

(複合同順)

または、

$x=\pm6,\ \ \ y=\pm2$

(複合同順)

(2)

$6x^{2}+xy-2y^{2}=0\\<br />(2x-y)(3x+2y)=0$

2x-y=0のとき

$y=2x\\<br />5x^{2}-8x^{2}=-3\\<br />x^{2}=1\\<br />x=\pm1$

3x+2y=0のとき、

$y=-\frac{3}{2}x\\<br />5x^{2}-\frac{9}{2}x^{2}=-3\\<br />x^{2}=-6$

$x=\pm\sqrt{6}i$

よって求める解は

$x=\pm1,\ \ \ y=\pm2$

(複合同順)

または、

$x=\pm\sqrt{6}i,\ \ \ y=\mp\frac{3\sqrt{6}}{2}i$

(複合同順)

(3)

$x^{2}+y^{2}=13\\<br />x^{2}y^{2}=36$

$t^{2}-13t+36=0\\<br />(t-4)(t-9)=0\\<br />t=4,9$

$x^{2}=4,y^{2}=9$

または、

$x^{2}=9,y^{2}=4$

よって求める解は

$x=\pm2,y=\mp3$

(複合同順)

または、

$x=\pm3,y=\mp2$

(複合同順)

(4)

$x^{2}+(-y^{2})=16\\<br />x^{2}(-y^{2})=-225$

$t^{2}-16t-225=0\\<br />t=8\pm\sqrt{64+225}=8\pm\sqrt{289}\\<br />=8\pm17=25,-9$

よって

$x^{2}=25,y^{2}=9$

または、

$x^{2}=-9,y^{2}=-25$

よって求める解は

$x=\pm5,y=\mp3$

(複合同順)

または

$x=\pm3i,\pm5i$

(複合同順)

(5)

$X+Y=11\\<br />-X+2Y=7\\<br />Y=6,X=5$

x+y=5,xy=6

$t^{2}-5t+6=0\\<br />(t-2)(t-3)=0\\<br />t=2,3$

よって求める解は

x=2,y=3

または

x=3,y=2

(6)

$60xy+48x-36y-24=0\\<br />60xy+45x-35y-20=0\\<br />3x-y-4=0\\<br />y=3x-4$

$5x(3x-4)+4x-3(3x-4)-2=0\\<br />15x^{2}-25x+10=0\\<br />3x^{2}-5x+2=0$

(x-1)(3x-2)=0

よって求める解は

x=1,y=-1

または

$x=\frac{2}{3},y=-2$

(7)

$(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})+4=0\\<br />x^{2}-xy+y^{2}+2=0$

$x^{2}-x(2-x)+(2-x)^{2}+2=0\\<br />3x^{2}-6x+6=0$

$x=1\pm i$

よって求める解は

$x=1\pm i,y=1\mp i$

(複合同順)

(8)

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=-65\\<br />13(x^{2}+y^{2})=-65\\<br />x^{2}+y^{2}=-5$

$2x^{2}=8\\<br />x=\pm2$

よって求める解は

$x=\pm2,y=\pm3i$

(複合順不同)

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