数学学習の記録 136 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問39 | Kamimura's blog

2010年4月3日土曜日

数学学習の記録 136 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第3章問39

"数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第3章問39を解いてみる。

問39

(1)

y=-2x-1

$x+4x+2+z+4=0\\<br />z=-5x-6$

$x^{2}+(-2x-1)^{2}+(-5x-6)^{2}=29\\<br />30x^{2}+64x+8=0\\<br />15x^{2}+32x+4=0$

$(x+2)(15x+2)=0\\<br />x=-2,-\frac{2}{15}$

よって求める解は、

x=-2,y=3,z=4

または

$x=-\frac{2}{15},y=-\frac{11}{15},z=-\frac{16}{3}$

(2)

$(x+y)^{2}-2xy=z^{2}\\<br />(z-70)^{2}-840-z^{2}=0\\<br />-2\cdot 70z+70^{2}-840=0$

$2z-70+12=0\\<br />z=29$

$x+y=41\\<br />x^{2}+y^{2}=29^{2}$

$x^{2}+(41-x)^^{2}=29^{2}\\<br />2x^{2}-82x+41^{2}-29^{2}=0$

$x=\frac{41\pm\sqrt{41^{2}-2(41^{2}-29^{2})}}{2}\\<br />=\frac{41\pm\sqrt{-41^{2}+2(29)^{2}}}{2}$

=21,20

よって、求める解x,y,zは

x=20,y=21,z=29

または

x=21,y=20,z=29

(3)

$(x+y+z)^{2}=16\\<br />x+y+z=\pm4$

$z=\pm4-x-y\\<br />\pm4x=6\\<br />\pm4y=-10\\<br />\pm4z=20$

よって求める解x,y,zは

$x=\pm\frac{3}{2},y=\mp\frac{5}{2},z=\pm5$

(複合同順)

(4)

$2X+Y=0\\<br />Y-3Z=0\\<br />Z+4X=10$

$Y=-2X\\<br />-2X-3Z=0\\<br />4X+Z=10$

$-5Z=10\\<br />Z=-2$

$X=3\\<br />Y=-6$

$yz=3\\<br />zx=-6\\<br />xy=-2$

z(2y+x)=0

となるが上記よりzは0ではないので

$2y+x=0\\<br />x=-2y$

$-2y^{2}=-2\\<br />y^{2}=1\\<br />y=\pm1$

よって求める解x,y,zは

$x=\pm2,y=\mp1,z=\mp3$

(複合同順)

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