数学学習の記録 201 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問42

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問42を解いてみる。



問42

(1)

余弦定理より、

(c^{2}-a^{2}-b^{2}) / 2a = (b^{2} - a^{2} - c^{2}) / 2a

2c^{2} = 2b^{2}

b = c

よって△ABCはb=cの二等辺三角形となる。

(2)

a cos B = b cos A

(1)よりa=b。同様にして

a=b=c

よって△ABCは正三角形。

(3)

△ABCの外接円の半径をRとする。

sin A = a / 2R, sin B = b / 2R

よって

a^{2} / 2R = b^{2} / 2R

a = b

以上から△ABCはa=bの二等辺三角形。

(4)

余弦定理より、

cos A = (a^{2} - b^{2} - c^{2}) / 2bc

cos B = (b^{2} - a^{2}  - c^{2}) / 2ac

よって、

(a^{3} - ab^{2} - ac^{2}) / b = (b^{3} - ba^{2} - bc^{2}) / a

a^{4} - b^{2}a^{2} - c^{2}a^{2} = b^{4} - b^{2}a^{2} - b^[2}c^{2}

(b^{2} - a^{2})c^{2} - (b^{2} - a^{2}) = 0

(b^{2} - a^{2})(c^{2} - b^{2} - a^{2}) = 0

よって

a=b , a^{2} + b^{2} = c^{2}

以上より、△ABCはa=bの二等辺三角形またはCが直角である直角三角形となる。

(5)

余弦定理より、

a cos B = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) / 2c

b cos A = (b^{2} + c^{2} - a^{2} /2c

よって

(2a^{2} - 2b^{2}) / 2c = c

a^{2} - b^{2} = c^{2}

a^{2} = b^{2} + c^{2}

以上より、△ABCはAが直角である直角三角形となる。

(6)

sin C (cos A + cos B) = sin A + sin B

△ABCの外接円の半径をRとすると、

c(cos A + cos B) / 2R = a / 2R + b / 2R

c(cos A + cos B) = a + b

余弦定理より、

cos A = (b^{2} + c^{2} - a^{2}) / 2bc

cos B = (a^{2} + c^{2} - b^{2}) / 2ac

なので、

(b^{2} + c^{2} - a^{2}) / 2b + (a^{2} + c^{2} - b^{2} / 2a = a + b

ab^{2} + ac^{2} - a^{3} + a^{2}b + bc^{2} - b^{3} = 2a^{2}b + 2ab^{2}

ac^{2} - a^{3} + bc^{2} - b^{3} = a^{2} b + ab^{2}

(a + b)c^{2} - (a^{3} + b^{3} + a^{2}b + ab^{2}) = 0

(a + b)c^{2} - (a + b)(a^{2} + b^{2}) = 0

(a + b)(c^{2} - a^{2} - b^{2}) = 0

よって、

c^{2} - a^{2} - b^{2} = 0

c^{2} = a^{2} + b^{2}

以上より、△ABCはCが直角である直角三角形となる。