数学学習の記録 201 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問43

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問43を解いてみる。



問43

(x^{2} + x + 1) - (2x + 1)

x^{2} - x > 0

(x^{2} + x + 1) - (x^{2} - 1)

= x + 2 > 0

よって

x^{2} + x + 1

が問題の三角形の最大辺となる。

角の大きさと辺の長さとは大小について一致するので最大辺

x^{2} + x + 1

に対応する角が最大となる。

その角の大きさをθとすると、

cos θ

= ((2x + 1)^{2} + (x^{2} - 1)^{2} - (x^{2} + x + 1)^{2}) / 2(2x+1)(x^{2}-1)

= (-2x^{3} - x^{2} + 2x + 1) / (4x^{3} + 2x^{2} - 4x -2)

= -1/2

よって問題の三角形の3つのかくのうち、最大であるものの大きさは

θ = 2π/3