2010年6月10日木曜日

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の.3(三角関数と三角形)、いくつかの興味ある問題の問47を解いてみる。



問47

(1)

角CODをθとおくと、長方形ABCDの面積は

2r cos θ * r sin θ

= r^{2}2 sin θ cos θ

= r^{2} sin 2θ

また、

0 < θ < π / 2

より

2θ = π / 2

θ = π / 4

のとき長方形ABCDの面積は最大となる。

よって求める長方形の面積の最大値は

r^{2}


(2)

(1)と同様に角CODをθとおくと、長方形ABCDの周の長さは

2r sin θ + 2*2r cos θ

= 2r (sinθ + 2cos θ)

= 2r * sqrt{5} * sin (θ+ α) )

( cos α = 1 / sqrt{5}, sin α = 2 / sqrt{5}, 0 < α < π / 2 )

また、

0 < θ < π / 2

より、求める長方形ABCDの周の長さは

θ + α = π / 2

のとき最大となる。

よって求める長方形ABCDの周の長さの最大値は

2r *  sqrt{5} * sin π / 2

= 2sqrt{5}r
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