数学学習の記録 203 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.3(三角関数と三角形)、いくつかの興味ある問題の問48

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の.3(三角関数と三角形)、いくつかの興味ある問題の問48を解いてみる。



問48

簡単のため点P, Q, Rが辺BC, CA, AB上にある場合を考える。

線分BQ, CRの交点をOとし、直線AOと辺BCとの交点をP'とすると、チェヴァの定理により、

BP' / P'C * CQ / QA * AR / RB = 1

となる。また、問題の仮定より

BP / PC * CQ / QA * AR / RB = 1

なので、

BP' / P'C = BP / PC

BP' : P'C = BP : PC

よって

P = P'

このことから、直線APも点Oを通る。

よって問題の仮定が成り立つとき、3直線AP, BQ, CRは同一点で交わる。