数学学習の記録 239.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、双曲線の問10

2010年7月17日土曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問10を解いてみる。

問10

点A, Bの座標をそれぞれ

A(-c, 0), B(c, 0)

とおくと点Mは線分ABの中点なので

M(0, 0)

となる。また、点Pの座標を

P(x, y)

とおくと

$PM^{2}=PA\cdot PB$

を満たすので

$x^{2}+y^{2}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}$

この等式の両辺を2乗すると

$x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+y^{2}((x+c)^{2}+(x-c)^{2})$

$2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}=c^{4}$

$\frac{x^{2}}{\frac{c^{2}}{2}}-\frac{y^{2}}{\frac{c^{2}}{2}}=1$

よって点Pの軌跡は(±c, 0)を焦点とする双曲線で、またその漸近線はy=xとなるので直角双曲線である。