数学学習の記録 240.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問12

2010年7月18日日曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問12を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問12

求める直線の方程式を

y=ax+b

とおくと、この直線が放物線に接するにはこれを放物線に代入した等式

$(ax+b)^{2}=8x$

が重解を持てば良い。また直線は点(-1, 1)を通るので

1=-a+b

b=1+a

以上から、

$a^{2}x^{2}+b^{2}+2abx=8x$

$a^{2}x^{2}+2(ab-4)x+b^{2}=0$

判別式が0となるためには

$(ab-4)^{2}-a^{2}b^{2}=0$

$a^{2}+a-2=0$

a=-2, b=-1

および

a=1, b=2

よって求める放物線に接する直線の方程式は

y=-2x-1, y=x+2