数学学習の記録 241.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問14

2010年7月20日火曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、放物線と直線の問14を解いてみる。

問14

問題の放物線上の異なる2点P, Qの座標をそれぞれ

$P(x_{1},\ y_{1}),\ Q(x_{2},\ y_{2})$

とおくと、点P, Qに置ける接線はそれぞれ

$y_{1}y=2(x+x_{1}),\ y_{2}y=2(x+x_{2})$

となる。この2つの直線の交点Rを求める。

$(y_{1}-y_{2})y=2(x_{1}-x_{2})$

$y=\frac{2(x_{1}-x_{2})}{y_{1}-y_{2}}$

ここで点P, Qは問題の放物線上なの

$y_{1}^{2}=4x_{1},\ y_{2}^{2}=4x_{2}$

$x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{4},\ x_{2}=\frac{y^{2}}{4}$

よって

$y=\frac{y^{1}^{2}-y_{2}^{2}}{2(y_{1}-y_{2})}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$

以上より、点RはPQの中点を通ってx軸に平行な直線上にある。

(証明終)

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