数学学習の記録 242 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問15

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問15を解いてみる。

問15

双曲線

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

とx軸との交点(±a, 0)に置ける接線の方程式は明らかにそれぞれ

x=±a

よって問題の双曲線とx軸との交点に置ける接線は

$\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$

で与えられる。

以下、

$y_{0}\ne0$

の場合を考える。求める接線の方程式を

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$

とし、これを双曲線の方程式に代入すると、

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{m^{2}x^{2}-2m(mx_{0}-y_{0})x+(mx_{0}-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$

$(b^{2}-a^{2}m^{2})x^{2}+2a^{2}m(mx_{0}-y_{0})x+c=0$

(cは定数項)

ここで、点Pは双曲線と直線の接点なので、この2次方程式は重解をもち、さらにその重解は $x_{0}$ である。よって開と係数の関係により

$x_{0}=-\frac{a^{2}m(mx_{0}-y_{0})}{b^{2}-a^{2}m^{2}}$

となる。これからmを求めると

$m=\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$

これを求める接線の方程式のmに代入すると、

$y=\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x-x_{0})+y_{0}$

$b^{2}x_{0}x-a^{2}y_{0}y=b^{2}x_{0}^{2}-a^{2}y_{0}^{2}$

$\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$

$\frac{x_{0}x}{a^{2}}-\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$

(証明終)

Kamimura's blog