数学学習の記録 269.1 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問19 | Kamimura's blog

2010年8月16日月曜日

数学学習の記録 269.1 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問19

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問19を解いてみる。

問19

(1)

n=1のとき、

$a_{1}>\sqrt{\alpha}$

n=kのとき

$a_{k}>\sqrt{\alpha}$

と仮定すると、相加平均と相乗平均の性質により、

$a_{k+1}=\frac{1}{2}(a_{k}+\frac{\alpha}{a_{k}})$

$>\sqrt{a_{k}\cdot\frac{\alpha}{a_{k}}}=\sqrt{\alpha}$

よってn=k+1のときも成り立つ。

以上よりすべての自然数nに対して

$a_{n}>\sqrt{\alpha}$

また、

$a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{\alpha}{a_{n}})$

$=\frac{1}{2}(a_{n}-\frac{\alpha}{a_{n}})$

$=\frac{1}{2a_{n}}(a_{n}^{2}-\alpha)>0$

よって問題の数列は単調減少である。

また、

$a_{n+1}-\sqrt{\alpha}=\frac{1}{2}(a_{n}+\frac{\alpha}{a_{n}})-\sqrt{\alpha}$

$=\frac{1}{2a_{n}}(a_{n}^{2}-2\sqrt{\alpha}a_{n}+\alpha)$

$=\frac{1}{2a_{n}}(a_{n}-\sqrt{\alpha})^{2}$

ここで、最初の

$a_{n}>\sqrt{\alpha}$

より、

$a_{n+1}-\sqrt{\alpha}<\frac{1}{2\sqrt{\alpha}}(a_{n}-\sqrt{\alpha})^{2}$

いま、

$b_{n}=a_{n}-\sqrt{\alpha}$

とおくと、

$b_{n}>0$

でとなり、

$b_{n+1}<\frac{1}{2\sqrt{\alpha}}b_{n}^{2}$

このことから、

$b_{n}<2\sqrt{\alpha}(\frac{b_{1}}{2\sqrt{\alpha}})^{2^{n-1}}$

が成り立つ。

このときあるn_{0}が存在して

$\frac{b_{n_{0}}}{2\sqrt{\alpha}}=\frac{a_{n_{0}}-\sqrt{\alpha}}{2\sqrt{\alpha}}<1$

となるので、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\sqrt{\alpha}$

(証明終)

(2)

$a_{2}=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=\frac{7}{4}=1.75$

$a_{3}=\frac{1}{2}(\frac{7}{4}+\frac{3}{\frac{7}{4}})=\frac{97}{56}=1.7321428571...$

$a_{4}=\frac{1}{2}(\frac{97}{56}+\frac{3}{\frac{97}{56}})=\frac{18817}{10864}=1.73205081...$

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)