数学学習の記録 270 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限級数とその和

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限級数とその和の問20を解いてみる。

問20

(1)

問題の級数の初項から第n項までの部分和は

$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}$

$=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}{(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})}$

$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$

この極限を考えると

$\lim_{n\rightarrow\infty}{S_{n}}=\frac{1}{2}$

したがって、問題のk無限級数は収束して、和は収束し、

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{2}$

となる。

(2)

問題の級数の初項から第n項までの部分和は

$S_{n}=$ $\sum_{k=1}^{n}{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}})}=-1+\sqrt{n+1}$

で、

$n\rightarrow\infty\ \Rightarrow\ S_{n}\rightarrow\infty$

よって問題の無限級数の和は、発散する。

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=+\infty$

(3)

問題の級数は

1+0-1+0+1+0+-1+0+・・・

となるので、振動する。

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