2010年8月17日火曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数 順列・組合せ 確率 関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限等比級数の問21, 22, 23を解いてみる。


問21

(1)

問題の無限等比級数は初項3>0, 公比|-1|>=1なので発散する。

(2)

問題の無限等比級数は初項1, 公比|-0.2|<1より、

\frac{1}{1+0.2}=\frac{5}{6}

の収束する。

(3)

問題の無限等比級数は初項2, 公比

\frac{\sqrt{3}}{2}<1

より、

\frac{2}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{2-\sqrt{3}}=4(2+\sqrt{3})

に収束する。


問22

問題の仮定より、

\sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}}=S,\ |r|<1

(1)

問題の無限等比級数は初項1, 公比-rより、和は

\frac{1}{1-(-r)}=\frac{1}{1+r}

=\frac{\frac{1}{1-r}}{\frac{2}{1-r}-1}=\frac{S}{2S-1}

(2)

問題の無限等比級数は初項1, 公比r^{2}より、和は

\frac{1}{1-r^{2}}=\frac{1}{(1+r)(1-r)}

=\frac{1}{1+r}\cdot\frac{1}{1-r}=\frac{S}{2S-1}S=\frac{S^{2}}{2S-1}


問23

(1)

収束するxの範囲は

|\frac{x}{3}|<1

|x|<3

で収束するときの和は

\frac{1}{1-\frac{x}{3}}=\frac{3}{3-x}

(2)

収束するxの範囲は

|1-x|<1

0<x<2

で収束するときの和は

\frac{2}{1-(1-x)}=\frac{2}{x}

(3)

x=0のとき収束し、その和は0となる。

以下0以外の場合を考える。

収束するxの範囲は

|1-x^{2}|<1

-1<1-x^{2}<1

0<x^{2}<2

-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}

で収束するときの和は

\frac{x}{1-(1-x^{2})}=\frac{1}{x}
時刻: 22:56 ラベル: , , , ,

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