数学学習の記録 333 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、導関数の符号と関数の増減の問2,3,4

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.2(関数の増減の判定およびその応用)、導関数の符号と関数の増減の問2,3,4を解いてみる。

問2

y'=2ax+b

よって増減表は

x		-b/2ax
y'	-	0	+
y		0

となるので区間x<=-b/2aで減少し、区あかん-b/2a<=xで増加する。

問3

問題の3次関数を微分すると

となる。この解の判別式は

よって、これが0より大きいならば解を2つ持つことになるので、元の3次関数は極大点・極小点を1つずつもつ。

上記の判別式が0以下ならば、極値をとらない。

問4

(1)

増減表

x		-2		2
y'	-	0	+	0	-
y	減	-16	増	16	減

よって極大値16, 極小値-16となる。

(2)

増減表

x		-2		0
y'	+	0	-	0	+
y	増	4/3	減	0	増

よって極大値4/3, 極小値0となる。

(3)

全区間で増加。極値無し。

(4)

全区間で減少。極値無し。

(5)

増減表

x		-1		0		1
y'	-	0	+	0	-	0	+
y	減	0	増	1	減	0	増

よって極大値1, 極小値0となる。

(6)

増減表

x		0
y'	-	0	+
y	減	0	増

よって極小値0となる。

(7)

増減表

x		0		3
y'	-	0	-	0	+
y	減	0	減	-27	増

よって極小値-27となる。

(8)

よって

増減表

x		0		2		3
y'	-	0	+	0	-	0	+
y	減	0	増	4	減	0	増

よって極大値4, 極小値0となる。

(9)

増減表

x		-1		0		1
y'	+	0	-		-	0	+
y	増	-2	減		減	2	増

よって極大値-2, 極小値2となる。

(10)

増減表

x		-1
y'	+	0	-
y	増		減

よって極大値となる。

(11)

増減表

x	0
y'		+	0	-	0	+
y		増		減

よって極大値は

極小値は

となる。