数学学習の記録 351 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、曲線の媒介変数表示

2010年11月9日火曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、曲線の媒介変数表示の問45を解いてみる。

問45

x=acosθ, y=bsinθ

をそれぞれともに両辺を二乗すると、

$x^{2}=a^{2}\cos^{2}\theta,\ y^{2}=b^{2}\sin^{2}\theta$

この2つの等式からθを消去する。

$y^{2}=b^{2}(1-\cos^{2}\theta)$

$\cos^{2}\theta=1-\frac{y^{2}}{b^{2}}$

$\frac{x^{2}}{a^{2}}=1-\frac{y^{2}}{b^{2}}$

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

よって問題の楕円は問題の図の角θを媒介変数として、

x=acosθ, y=bsinθ

と媒介変数表示される。