数学学習の記録 352 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、媒介変数で表された関数の微分法

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、媒介変数で表された関数の微分法の問46, 47を解いてみる。

問46

x, yをそれぞれtについて微分すると

$\frac{dx}{dt}=2t,\ \frac{dy}{dt}=3t^{2}$

となる。よって

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{3}{2}t$

(1)

$x=1,\ y=1,\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}$

よって求める接線の方程式は、

$y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

(2)

$x=4,\ y=-8,\ \frac{dy}{dx}=-3$

よって求める接線の方程式は

(3)

$x=\frac{1}{4},\ y=\frac{1}{8},\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}$

よって求める接線の方程式は

$y=\frac{3}{4}x-\frac{1}{16}$

問47

x, yをそれぞれθで微分すると、

$\frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta),\ \frac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$

となる。よって、

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$

(1)

$x=a(\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3})=\frac{a(2\pi-3\sqrt{3})}{6}$

$y=a(1-\cos\frac{\pi}{3})=\frac{a}{2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

よって求める接線の方程式は

$y=\sqrt{3}(x-\frac{a(2\pi-3\sqrt{3})}{6})+\frac{a}{2}$

(2)

$x=a\pi,\ y=2a,\ \frac{dy}{dx}=0$

よって求める接線の方程式は

y=2a

(3)

$x=a(\frac{5}{4}\pi+\frac{1}{\sqrt{2}}),\ y=a(1+\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a(1+\frac{1}{\sqrt{2}})}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$

よって求める接線の方程式は

$y=(\sqrt{2}-1)(x-a(\frac{5}{4}\pi+\frac{1}{\sqrt{2}}))+a(1+\frac{1}{\sqrt{2}})$

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