数学学習の記録 353 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、平面上の点の運動, 速度・加速度

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第18章(曲線の性質, 最大・最小-微分法の応用)の18.4(媒介変数で表される曲線)、平面上の点の運動, 速度・加速度の問48, 49を解いてみる。

問48

(1)

位置ベクトル・速度ベクトル

=(a cos wt, a sin wt)・(-aw sin wt, aw cos wt)

$=-a^{2}\omega \cos\omega t\sin\omega t+a^{2}\omega\sin\omega t\cos\omega t=0$

よって自己浮くtにおける点の位置ベクトルと速度ベクトルとはつねに垂直である。

(2)

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-a\omega^{2}\cos\omega t,\ \frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-a\omega^{2}\sin\omega t$

よって加速度ベクトルは

$\vec{\alpha}(t)=\left(-a\omega^{2}\cos\omega t,\ -a\omega^{2}\sin\omega t\right)$

また、

$-\omega^{2}\vec{OP}=\left(-a\omega^{2}\cos\omega t,\ -a\omega^{2}\sin\omega t)$

よって、

$\vec{\alpha}(t)=-\omega^{2}\vec{OP}$

問49

時刻tにおける点Pの座標を

(f(t), g(t))

とおく。問題の仮定より速度Cは一定なので、

$f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=c^{2}$

この両辺をtについて微分すると、

(f'(t), g'(t))・(f''(t), g''(t))=0

速度ベクトル・加速度ベクトル=0

よって点Pの速度ベクトルと加速度ベクトルとは任意の時刻において常に垂直である。

(証明終)

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