数学学習の記録 355 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.1(定積分の定義)、積分と微分の関係

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.1(定積分の定義)、積分と微分の関係の問1を解いてみる。

問1

$=\int_{a}^{x+h}f-\int_{a}^{x}f$

$=\int_{a}^{x}f+\int_{x}^{x+h}f-\int_{a}^{x}f$

$=\int_{x}^{x+h}f$

$=-\int_{x+h}^{x}f$

区間[x+h, x]に蹴るfの最大点をc, 最小点をdとする。そのとき[x+h, x]に属する任意のtに対して

$f(d)\leq f(t)\leq f(c)$

が成り立つ。よって

$f(d)(x+h-x)\leq-\int_{x+h}^{x}f\leq f(c)(x+h-x)$

$f(d)h\leq-\int_{x+h}^{x}f\leq f(c)h$

h<0よりこの不等式の各辺をhで割ると

$f(c)\leq\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f\leq f(d)$

よって

$f(c)\leq\frac{G(x+h)-G(x)}{h}\leq f(d)$

ここでhを0に塚づけると、x+hは0に近づき、点c, dは区間[x+h, x]の点なのでこれらもxに近づく。

さらにfは連続な関数より、f(c), f(d)はともにf(x)に近づく。

ゆえに、

$\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{G(x+h)-G(x)}{h}}=f(x)$

以上より、

が成り立つ。

(証明終)

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