数学学習の記録 357 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、定数倍および和・差の積分

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.2(不定積分の計算)、定数倍および和・差の積分の問3, 4, 5. 6を解いてみる。

問3

以下Cはそれぞれの積分定数。

(1)

$x^{3}-2x^{2}-2x+C$

(2)

$x^{2}+\frac{1}{4}x^{4}+C$

(3)

$\int(2x^{2}-5x+3)dx$

$=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2}+3x+C$

(4)

$\frac{1}{5}t^{5}-\frac{3}{2}t^{4}+C$

(5)

$\frac{1}{6}(2y+5)^{3}+C$

(6)

7y+C

問4

問題の関数の不定積分を求める。

$\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+C$ (Cは積分定数)

問題の条件を満たすためには

9-18+C=-4

C=5

よって求める不定積分は

$\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+5$

問5

$F(x)=\int(3x-1)(1-x)dx$

$=\int(-3x^{2}+4x-1)dx$

$=-x^{3}+2x^{2}-x+C$ (Cは積分定数)

F(1)=3より、

-1+2-1+C=3

C=3

よって求める関数F(x)は

$F(x)=-x^{3}+2x^{2}-x+3$

問6

問題の曲線上の任意の点(x, f(x))における接線の傾きの仮定より、fの導関数f'は

$f'(x)=x^{3}-ax$ (aは定数)

となる。よって

$f(x)=\int(x^{3}-ax)dx=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{a}{2}x^{2}+C$ (Cは積分定数)

となる。この曲線が点(0, -2)および点(2, 0)を通るので、

よって求める関数f(x)は

$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}-2$

となる。

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