数学学習の記録 375 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問1 | Kamimura's blog

2010年12月3日金曜日

数学学習の記録 375 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問1

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問1を解いてみる。

問1

(1)

$\int_{-1}^{1}-(x^{2}-1)dx$

$=-[\frac{1}{3}x^{3}-x]_{-1}^{1}$

$=\frac{4}{3}$

(2)

$\int_{0}^{1}(1-x^{3})dx$

$=[x-\frac{1}{4}x^{4}]_{0}^{1}=\frac{3}{4}$

(3)

$\int_{-1}^{0}-(x^{2}-x^{3})dx$

$=-[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}]_{-1}^{0}=\frac{1}{12}$

(4)

-(x-3)(x+1)=0

$\int_{-1}^{3}(-x^{2}+2x+3)dx$

$=[-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x]_{-1}^{3}$

$=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}$

(5)

$\int_{0}^{2}(-2x^{2}+3x+5)dx$

$=[-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+5x]_{0}^{2}$

$=\frac{32}{3}$

(6)

$\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^{2})dx$

$=[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}=\frac{1}{3}$

(7)

$y^{2}=12y-3y^{2}$

y(y-3)=0

$\int_{0}^{3}((4y-y^{2})-\frac{1}{3}y^{2})dy$

$=[2y^{2}-\frac{4}{9}y^{3}]_{0}^{3}=6$

(8)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos xdx$

$=[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

(9)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx$

$=[\sin x+\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$=\sqrt{2}-1$

(10)

$3\int_{0}^{\pi}\sin xdx$

$=3[-\cos x]_{0}^{\pi}$

(11)

$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$

$2x^{2}-5x+2=0$

(x-2)(2x-1)=0

$\int_{\frac{1}{2}}^{2}((\frac{5}{2}-x)-\frac{1}{x})dx$

$=[\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}x^{2}-\log x]_{\frac{1}{2}}^{2}$

$=(5-2-\log x)-(\frac{5}{4}-\frac{1}{8}+\log x)$

$=\frac{15}{8}-2\log 2$

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