数学学習の記録 376 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問2, 3

2010年12月4日土曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.1(面積), 面積の計算の問2, 3を解いてみる。

領域を視覚的に把握するために図を描くのにiPadのneu.Notesを利用しました。

問2

(1)

$1+\int_{1}^{e}(1-\log x)dx$

$=1+[x]_{1}^{e}-\left([x\log x]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}1dx\right)$

(2)

$\int_{0}^{1}(e-e^{x})dx$

$=[ex]_{0}^{1}-[e^{x}]_{0}^{1}$

(3)

$\int_{1}^{e}(e-\frac{e}{x})dx$

$=[ex-e\log x]_{1}^{e}$

問3

ヒントから弦P'Pと放物線とで囲まれる図形の面積は

$2\int_{0}^{c}(ac^{2}-ax^{2})dx$

$=2[ac^{2}x-\frac{1}{3}ax^{3}]_{0}^{c}$

$=\frac{4}{3}ac^{3}$

長方形P'Q'QPの面積の2/3は

$\frac{2}{3}\cdot 2\cdot c\cdot ac^{2}=\frac{4}{3}ac^{3}$

(証明終)