2010年12月13日月曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 回転体の体積の問21, 22, 23を解いてみる。



問21

\pi\int_{0}^{1}((1-\sqrt{x})^{2})^{2}dx

=\pi\int_{0}^{1}(1-2\sqrt{x}+x)^{2}dx

=\pi\int_{0}^{1}(1-4x^{\frac{1}{2}}+6x-4x^{\frac{3}{2}}+x^{2})dx

=\pi[x-\frac{8}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x^{2}-\frac{8}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{1}

=\frac{\pi}{15}


問22

\pi\int_{-\frac{r}{2}}^{r}(r^{2}-x^{2})dx-\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}r)^{2}\pi\frac{1}{2}r

=\pi[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}]_{-\frac{r}{2}}^{r}-\frac{\pi r^{3}}{8}

=\pi(\frac{2}{3}r^{3}-(-\frac{r^{3}}{2}+\frac{r^{3}}{24}))-\frac{\pi r^{3}}{8}

=\frac{9}{8}\pi r^{3}-\frac{\pi r^{3}}{8}=\pi r^{3}


問23

\pi\int_{0}^{r\sin 15^{\circ }}(r^{2}-x^{2})dx

=\pi[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}]_{0}^{r\sin15^{\circ}}

=(\sin 15^{\circ}-\frac{1}{3}\sin^{3}15^{\circ})\pi r^{3}

ここで、

\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})

=\sin 45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}

=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})

=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

より、求める量は、

(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{3}(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})^{3})\pi r^{3}

=(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{6}-18\sqrt{2}+6\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{4^{3}})\pi r^{3}

=\frac{12\sqrt{6}-12\sqrt{2}-3\sqrt{6}+5\sqrt{2}}{48}\pi r^{3}

=\frac{9\sqrt{6}-7\sqrt{2}}{48}\pi r^{3}\ (cm^{3})
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