数学学習の記録 386 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 回転体の体積の問24, 25

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.2(体積), 回転体の体積の問24, 25を解いてみる。

問24

図はiPadのアプリ、neu.Notes - neu.Pen LLCによって描いています。

問題の球を

$y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$

をx軸のまわりに回転させてできたものとする。また、切り口はy軸に平行と考えても問題ない。その切り口とx軸との交点を(a, 0), (b, 0) (a<b)とおく。そのとき求める球の部分の体積は、

$\pi\int_{a}^{b}y^{2}dx$

$=\pi\int_{a}^{b}(r^{2}-x^{2})dx$

$=\pi[r^{2}x-\frac{1}{3}x^{3}]_{a}^{b}$

$=\pi(r^{2}(b-a)-\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3}))$

$=\frac{\pi(b-a)}{3}(3r^{2}-(b^{2}+ab+a^{2}))$

となる。また、問題の仮定より

b-a=h,

$a^{2}+r_{1}^{2}=b^{2}+r_{2}^{2}=r^{2}$

よって、求める2平面の間に挟まれる球の部分の体積は

$\frac{\pi h}{6}(3(r^{2}-a^{2})+3(r^{2}-b^{2})+(b-a)^{2})$

$=\frac{\pi h}{6}(3r_{1}^{2}+3r_{2}^{2}+h^{2})$

となる。

(証明終)

問25

ヒントのようにy=cosx (0<=x<=π/2)をxについて解いたものをx=g(y)とすると、求める体積は

$V=\pi\int_{0}^{1}(g(y))^{2}dy$

この積分をg(y)=xによってxの積分に変換する。

$V=\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}x^{2}\frac{dy}{dx}dx$

$=\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}x^{2}(-\sin x)dx$

$=\pi([x^{2}\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}2x\cos xdx)$

$=-2\pi([x\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{0}-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\sin xdx)$

$=-2\pi(-\frac{\pi}{2}+[\cos x]_{\frac{\pi}{2}}^{0})$

$=\pi(\pi-2)$

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