2010年12月15日水曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.3(曲線の長さ), 曲線y=f(x) (a<=x<=b)の長さの問26を解いてみる。



問26

(1)

\int_{0}^{a}\sqrt{1+(\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}))^{2}}dx

=\int_{0}^{a}\sqrt{1+\frac{1}{4}(e^{2x}-2+e^{-2x})}dx

=\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\sqrt{e^{2x}+2+e^{-2x}}dx

=\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\sqrt{(e^{x}+e^{-x})^{2}}dx

=\frac{1}{2}[e^{x}-e^{-x}]_{0}^{a}

=\frac{1}{2}(e^{a}-e^{-a})

(2)

2x=uとおくと、求める長さは

\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{1+u^{2}}du

となる。また、

u=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}

とおくと、

\frac{du}{dt}=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}, du=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}dt

\int\sqrt{1+u^{2}}du

=\int\sqrt{1+\frac{(e^{t}-e^{-t})^{2}}{4}}du

=\frac{1}{2}\int\sqrt{4+e^{2t}-2+e^{-2t}}du

=\frac{1}{2}\int\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}}du

=\frac{1}{2}\int(e^{t}+e^{-t})du

=\frac{1}{2}\int\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})^{2}dt

計算に行き詰まる。。。次回再挑戦！

(3)

求める長さは

\int_{1}^{3}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}dx

ここで、

\sqrt{x^{2}+1}=t

とおくと、

x^{2}=t^{2}-1,\ \frac{dt}{dx}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

となる。よって、

\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{10}}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}dt

=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{10}}(1+\frac{1}{t^{2}-1})dt

=\sqrt{10}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{10}}(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1})dt

=\sqrt{10}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}[\log\frac{t-1}{t+1}]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{10}}

=\sqrt{10}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log\frac{\sqrt{10}-1}{\sqrt{10}+1}\cdot\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

=\sqrt{10}-\sqrt{2}+\log\frac{(\sqrt{10}-1)(\sqrt{2}}{3}
時刻: 20:30 ラベル: , , , ,

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