数学学習の記録 388 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.3(曲線の長さ), 媒介変数で表された曲線の長さ

2010年12月16日木曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.3(曲線の長さ), 媒介変数で表された曲線の長さの問27, 28を解いてみる。

問27

ヒントのより0<=t<=π/2の部分の長さを求めて4倍したものが求める曲線の長さなので、

$(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}$

$=a^{2}((3\cos^{2}t\cdot(-\sin t))^{2}+(3\sin^{2}t\cdot\cos t)^{2})$

$=3^{2}a^{2}(\cos^{4}t\cdot\sin^{2}t+\sin^{4}t\cdot\cos^{2}t)$

$=3^{2}a^{2}\sin^{2}t\cdot\cos^{2}t$

より、

$4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3a\sin t\cdot\cos tdt$

$=12a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\sin 2tdt$

$=6a[-\frac{1}{2}\cos 2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

問28

$(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}$

$=(e^{t}\cos t-e^{t}\sin t)^{2}+(e^{t}\sin t+e^{t}\cos t)^{2}$

$=2e^{2t}$

$\int_{0}^{1}\sqrt{2}e^{t}dt$

$=\sqrt{2}[e^{t}]_{0}^{1}=\sqrt{2}(e-1)$