数学学習の記録 392 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 解曲線と初期条件の問35, 36, 37

2010年12月20日月曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 解曲線と初期条件の問35, 36, 37を解いてみる。

問35

最初の物質の量をCグラムとすると、問題の仮定より、

$20=Ce^{-\frac{1}{2}\cdot 4}$

$C=20e^{2}$ グラム

問36

(1)

最初の物質の量をCとおくと、

$2C=Ce^{10k}$

$k=\frac{\log 2}{10}$

(2)

最初の量の10倍になる時刻をtとおくと、

$10C=Ce^{\frac{\log2}{10}t}$

$t=\frac{10\log 10}{\log 2}$

問37

(1)

問題の仮定より、

$x=100e^{-kt}$

$50=100e^{-40k}$

よって

$\log50=\log100-40k$

$k=\frac{\log 2}{40}$

よってt=20分のとき、

$x=100e^{-\frac{\log2}{40}\cdot20}=100\cdot2^{-\frac{1}{2}}=50\sqrt{2}$

(2)

(1)と同様に求める。

$10=100e^{-\frac{\log2}{40}t}$

$\log 10=\log 100-\frac{\log2}{40}t$

$t=\frac{40\log10}{\log2}$