数学学習の記録 394 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 変数分離形の微分方程式 | Kamimura's blog

2010年12月22日水曜日

数学学習の記録 394 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 変数分離形の微分方程式

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 変数分離形の微分方程式の問39, 40, 41を解いてみる。

問39

(1)

dy/dx = xy

dy/y = xdx

$\int\frac{1}{y}dy=\int xdx$

$\log| y|=\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}$

$\log |y|=\log e^{\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}}$

よって問題の微分方程式の解は

$y=Ce^{\frac{1}{2}x^{2}}$

(Cは任意の定数)

(2)

xdy/dx + y = 0

dy/y=-dx/x

$\int \frac{1}{y}dy=-\int \frac{1}{x}dx$

log |y| = -log |x| + C_{1}

よって求める微分方程式の解は

y=C/x

(Cは任意の定数)

(3)

xdy/dx + 1 = y

dy/(y-1)=dx/x

$\int\frac{1}{y-1}dy=\int\frac{1}{x}dx$

$\log|y-1|=\log |x|+C_{1}$

よって求める微分方程式の解は

y-1=Cx

y=Cx+1

(Cは任意の定数)

(4)

dy/dx=-x/2y

2ydy=-xdx

$\int2ydy=-\int xdx$

$y^{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}$

よって求める微分方程式の解は

$\frac{1}{2}x^{2}+y^{2}=C$

(Cは任意の定数、C>0)

(5)

$y\ne-1$

のとき、

$\frac{dy}{dx}=y^{2}-1$

$\frac{dy}{y^{2}-1}=dx$

$\int\frac{1}{y^{2}-1}dy=\int 1 dx$

$\frac{1}{2}\int(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1})dy=x+C_{1}$

$\frac{1}{2}(\log |y-1|-\log |y+1|)=x+C_{1}$

$\log|\frac{y-1}{y+1}|=\log e^{2x+2C_{1}}$

$\frac{y-1}{y+1}=Ce^{2x}$

よって求める微分方程式の解は

$y=\frac{1+Ce^{2x}}{1-Ce^{2x}}$

または

y=-1

問40

(1)

dy/dx=x(y-1)

dy/(y-1)=xdx

$\log|y-1|=\frac{1}{2}x^{2}+C_{1}$

$y=Ce^{\frac{1}{2}}+1$

初期化条件より、

4=C+1

C=3

よって求める微分方程式の解は

$y=3e^{\frac{1}{2}x^{2}}+1$

(2)

$(x^{2}+1)\frac{dy}{dx}=2xy$

$\frac{dy}{y}=\frac{2x}{x^{2}+1}dx$

$\log |y|=\log(x^{2}+1)+C_{1}$

$y=e^{C}(x^{2}+1)$

初期化条件より

$25=5e^{C}$

$5=e^{C}$

$C=\log 5$

よって求める微分方程式の解は

$y=5(x^{2}+1)$

問41

$y'=\frac{x}{2}$

$=\sqrt{\frac{x^{2}}{4}}=\sqrt{y}$

$y'=0=\sqrt{0}=\sqrt{y}$

よって問題の微分方程式が2つの解をもっていることは確かめられた。

他の解としては、

$y=\frac{1}{4}(x-a)^{2}\ (a\leq x)$

$y=a\ (0\leq x\leq a)$

も解となる。

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