数学学習の記録 396 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 二三の応用問題の問45, 46

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 二三の応用問題の問45, 46を解いてみる。

問45

(1)

$V=\pi\int_{-R}^{-R+x}(R^{2}-a^{2})da$

$=\pi[R^{2}a-\frac{1}{3}a^{3}]_{-R}^{-R+x}$

$=\pi(R^{2}x-\frac{1}{3}((-R+x)^{3}+R^{3}))$

$=\pi(R^{2}x-\frac{1}{3}(3R^{2}x-3Rx^{2}+x^{3}))$

$=\pi(Rx^{2}-\frac{1}{3}x^{3})$

(2)

(1)より、

$\frac{dV}{dt}=\pi(2Rx-x^{2})\frac{dx}{dt}$

また、問題の仮定より、

$\frac{dV}{dt}=-k\sqrt{x}$

よって水面が降下する速度をxの関数として表すと、

$-\frac{dx}{dt}=\frac{k\sqrt{x}}{\pi(2Rx-x^{2})}$

となる。

(3)

(2)の微分方程式を解くと、

$\int\pi(x^{\frac{3}{2}}-2Rx^{\frac{1}{2}})dx=\int kdt$

$\pi(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}x^{\frac{3}{2}})=kt+C$

また、t=0のとき、x=2Rとなるので、

$\pi(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}x^{\frac{3}{2}})=kt+\pi(\frac{2}{5}(2R)^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}(2R)^{\frac{3}{2}})$

(4)

(3)の式のxにRを代入してtを求めればよい。

$\pi(\frac{2}{5}R^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}R^{\frac{3}{2}})=kt+\pi(\frac{2}{5}(2R)^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}(2R)^{\frac{3}{2}})$

$t=\pi(\frac{2}{5}R^{\frac{5}{2}}-\frac{4R}{3}R^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}(2R)^{\frac{5}{2}}+\frac{4R}{3}(2R)^{\frac{3}{2}})\frac{1}{k}$

(計算は時間がかかりそうなので割愛)

問46

与えられた問題の等式の両辺をxについて微分すると、

f'(x)=f(x)+1

dy/dx=y+1

この微分方程式を解く。

$\int\frac{1}{y+1}dy=\int 1dx$

$\log|y+1|=x+C_{1}$

$y=Ce^{x}-1$

また、問題の等式でx=0とすると、

f(0)=2

となるので、

2=C-1

C=3

よって求める関数f(x)は

$f(x)=3e^{x}-1$

Kamimura's blog