数学学習の記録 397 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 2階微分方程式

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.4(簡単な微分方程式), 2階微分方程式の問47, 48, 49を解いてみる。

問47

$\frac{dx}{dt}=A(-\varepsilon e^{-\varepsilon t}\cos(\sigma t+\alpha)-e^{-\varepsilon t}\sigma\sin(\sigma t+\alpha))$

$=Ae^{-\epsilon t}(-\varepsilon\cos(\sigma t+\alpha)-\sigma\sin(\sigma t+\alpha))$

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=A(-\varepsilon e^{-\varepsilon t}(-\varepsilon\cos(\sigma t+\alpha)-\sigma\sin(\sigma t+\alpha))$

$+e^{-\varepsilon t}(\varepsilon\sigma\sin(\sigma t+\alpha)-\sigma^{2}\cos(\sigma t+\alpha))$

$=Ae^{-\varepsilon t}((\varepsilon^{2}-\sigma^{2})\cos(\sigma t+\alpha)+2\varepsilon\sigma\sin(\sigma t+\alpha))$

$2\varepsilon\frac{dx}{dt}=Ae^{-\varepsilon t}(-2\varepsilon^{2}\cos(\sigma t+\alpha)-2\varepsilon\sigma\sin(\sigma t+\alpha))$

$n^{2}=\sigma^{2}+\varepsilon^{2}$

$n^{2}x=Ae^{-\varepsilon t}(\sigma^{2}+\varepsilon^{2})\cos(\sigma t+\alpha)$

よって、

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\varepsilon\frac{dx}{dt}+n^{2}x=0$

確認できた。

問48

1の関数について。

$y'=C_{1}\alpha e^{\alpha x}+C_{2}\beta e^{\beta x}$

$y''=C_{1}\alpha^{2}e^{\alpha x}+C_{2}\beta^{2} e^{\beta x}$

よって

$=C_{1}e^{\alpha x}(\alpha^{2}}+p\alpha+q)+C_{2}(\beta^{2}+p\beta+q)=0$

2の関数について

$y'=C_{1}e^{\alpha x}+C_{1}x\alpha e^{\alpha x}+C_{2}\alpha e^{\alpha x}$

$y''=C_{1}\alpha e^{\alpha x}+C_{1}\alpha e^{\alpha x}+C_{1}x\alpha^{2} e^{\alpha x}+C_{2}\alpha^{2}e^{\alpha x}$

よって

$=C_{2}e^{\alpha x}(\alpha^{2}+p\alpha+q)+C_{1}xe^{\alpha x}(\alpha^{2}+p\alpha +q)+C_{1}e^{\alpha x}(2\alpha+p)=0$

3の関数について

$y'=A(\alpha e^{\alpha x}\sin(bx+\beta)-be^{\alpha x}\cos(bx+\beta))$

$y''=A(\alpha^{2}e^{\alpha x}\sin(bx+\beta)-b\alpha e^{\alpha x}\cos(bx+\beta)-b\alpha e^{\alpha x}\cos(bx+\beta)-be^{\alpha x}b^{2}\sin(bx+\beta))$

$=A(\alpha^{2}e^{\alpha x}\sin(bx+\beta)-2b\alpha e^{\alpha x}\cos(bx+\beta)-be^{\alpha x}b^{2}\sin(bx+\beta))$

このことと、a+biが問題の2次方程式の解なので実数部分、虚数部分が0であることを考えて計算していけば多分答えが出るので計算省略。

問49

(1)