数学学習の記録 404 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問15, 16, 17

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問15, 16, 17を解いてみる。

問15

$A^{2}=$

1+x	1+y
x+xy	$x+y^{2}$

1+x=0

1+y=0

x+xy=0

$x+y^{2}=0$

この連立方程式を解けばよい。よって求める値はx=y=-1

問16

$A^{2}=$

$a^{2}+bc$	ab+bd
ac+cd	$bc+d^{2}$

(1)

$A^{2}-$

$a^{2}+ad$	ab+bd
ac+cd	$ad+d^{2}$

ad-bc	0
0	ad-bc

0	0
0	0

よって問題の等式は成り立つ。

(2)

(1)より、

$A^{2}+E=O$

$A^{2}=-E$

(3)

(1)より

$A^{2}-A=O$

$A^{2}=A$

問17

問16、(1)の等式の両辺にAを掛けると、

$A^{3}-(a+d)A^{2}+(ad-bc)A=O$

$A^{3}=O$

より、

$(a+d)A^{2}-(ad-bc)A=O$

この等式と問16、(1)の等式から

$((a+d)^{2}-(ad-bc))A-(a+d)(ad-bc)E=O$

よって、Aの係数が0ではなければ、

ゆえに、

$A^{3}=k^{3}E$

また、

$A^{3}=O$

より、k=0なので、A=Oとなる。よって

$A^{2}=O$

Aの係数が0の場合、

$(a+d)^{2}-(ad-bc)=0$

よって、

$(a+d)^{3}=0$

すなわち、a+d=0, ad-bc=0

これを問16、(1)の等式に代入すれば、

$A^{2}=O$

以上より、Aを2×2行列としたとき、

$A^{3}=O$

ならば、

$A^{2}=O$

となる。

(証明終)

Kamimura's blog

2011年1月1日土曜日

数学学習の記録 404 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.1(行列とその演算), 行列の乗法の性質(2)の問15, 16, 17

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