"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第21章(もう一つの数学の基盤 - 行列と行列式)の21.4(行列式と面積・体積), 3次の行列式と体積の問42, 43, 44を解いてみる。
問42
abs det
| 3 | -2 | 1 |
| -2 | 1 | 3 |
| 1 | 3 | -2 |
=abs det
| -11 | 7 |
| 7 | -1 |
=|11-49|=38
問43
問題の空間内の4点が同一平面上にあることはベクトル
が一次従属であることと同値。よって
det
=0
であることと同値。 この行列式を変形すれば、
det
| 1 | 1 | 1 | 1 |
=0
となる。
(証明終)
問44
時刻tにおける
とする。そのとき、
は連続的に動くので、行列式
f(t)=det
| 1 | 1 | 1 | 1 |
もtの連続関数となる。
また問題の仮定より、
f(0)=det
| 1 | 1 | 1 | 1 |
f(1)=det
| 1 | 1 | 1 | 1 |
=-f(0)
よって関数fは(0,1)で連続でかつf(0), f(1)は異符号となるので、ある0と1の間の実数tが存在して
f(t)=0
となる。このことと問43より、時刻t=0とt=1のあいだに、問題の4点が同一平面上にある時間が少なくとも1つ存在する。
(証明終)
今日で数学読本5が終了したので、明日からは数学読本の最後の1冊、数学読本6を取り組むことに。
0 コメント:
コメントを投稿