数学学習の記録 416 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 1次変換の定義

2011年1月13日木曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 1次変換の定義の問1を解いてみる。

問1

P(x, y), P'(x', y')とおく。

問題の仮定より、線分PP'の中点は直線y=mx上にあるので、

(y+y')/2 =m (x+x')/2

y+y'=m(x+x')

となる。

また、点P, P'を通る直線は直線y=mxと垂直なので、

(y-y')/(x-x')=-1/m

が成り立つ。

上記の連立方程式をx', y'について解く。

y'=m(x+x')-y

(y-m(x+x')+y)/(x-x')=-1/m

$my-m^{2}x-m^{2}x'+my=x'-x$

$x'=\frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}x+\frac{2m}{1+m^{2}}y$

$y'=\frac{2m}{1+m^{2}}x+\frac{m^{2}-1}{1+m^{2}}y$

よって1次変換で、その行列は

$\frac{1}{1+m^{2}}\times$

$1-m^{2}$	2m
2m	$m^{2}-1$

となる。

(証明終)