数学学習の記録 420 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 1次変換の逆変換

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 1次変換の逆変換の問7, 8, 9を解いてみる。

問7

問題の行列式は

$\Delta=10-12=-2\ne0$

より一次変換fは逆変換を持つ。よってもとめるfに夜像が点(-13,7)となる点を(x, y)とおくと

=-1/2 ×

-2	-4
-3	-5

-13

-2

ゆえに求める点は(1, -2)

問8

1次変換f, gの行列をそれぞれA, Bとすると合成変換

$f\circ g$

の行列はABとなる。また、仮定よりA, Bは逆変換をもつので、

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

となる。以上より、

$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

問9

fの逆変換がf時死因であることは

$f\circ f$

が恒等変換であることと同値なのでこのことを証明すればよい。問題の仮定より、2つのベクトル

$\vec{u},\ \vec{v}$

は0ベクトルではなく平行でないので平面上の任意のベクトルは

$\vec{p}=k\vec{u}+l\vec{v}$

と表すことが出来る。これをfに代入すると、

$f(\vec{p})=f(k\vec{u}+l\vec{v})$

$=kf(\vec{u})+l(\vec{v})=k\vec{v}+l\vec{u}$

さらにこれをfに代入すると、

$f(k\vec{v}+l\vec{u})=kf(\vec{v})+lf(\vec{u})$

$=k\vec{u}+l\vec{v}=\vec{p}$

よって

$(f\circ f)(\vec{p})=\vec{p}$

fの逆変換は、f自身である。

(証明終)

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