数学学習の記録 421 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 原点のまわりの回転

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), 原点のまわりの回転の問10, 11を解いてみる。

問10

原点を中心とす角60°の回転を表す行列

1/2	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1/2

角90°の回転を表す行列

0	-1
1	0

角120°の回転を表す行列

-1/2	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1/2

角135°の回転を表す行列

$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$

角180°の回転を表す行列

-1	0
0	-1

角-60°の回転を表す行列

1/2	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	1/2

角-135°の回転を表す行列

$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$
$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$

また、点(2, 1)にこれらの回転による像はそれぞれ

$(1-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}+\frac{1}{2})$

(-1, 2)

$(-1-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sqrt{3}-\frac{1}{2})$

$(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\ \frac{1}{\sqrt{2}})$

(-2, -1)

$(1+\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\sqrt{3}+\frac{1}{2})$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}},\ -\frac{3}{\sqrt{2}})$

問11

(1)

点P(x, y)を原点のまわりに60°回転した点をP'(x', y')とすると、点P(x, y)は点P'(x', y')を原点のまわりに-60°回転した点で、

x=x'cos 60° + y'sin 60°

y=-x'sin 60° + x'cos 60°

すなわち、

$x=\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y'$

$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'$

よって、点P(x, y)が直線x+y=1上にあるという条件をx', y'で表せば、

$\frac{1-\sqrt{3}}{2}x'+\frac{\sqrt{3}+1}{2}y'=1$

ゆえに、求める直線を60°だけ回転して得られる直線の方程式は

$(1-\sqrt{3})x+(1+\sqrt{3})y=2$

(2)

点P(x, y)を原点のまわりに30°回転した点をP'(x', y')とすると、点P(x, y)は点p'(x', y')を原点のまわりに-30°回転した点で、

x=x'cos 30°+y'sin 30°

y=-x'sin 30°+y'cos 30°

すなわち、

$x=\frac{\sqrt{3}}{2}x'+\frac{1}{2}y'$

$y=-\frac{1}{2}x'+\frac{\sqrt{3}}{2}y'$

よって、点P'(x, y)が楕円

$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

上にあるという条件をx', y'で表せば、

$\frac{3x'^{2}+2\sqrt{3}x'y'+y'^{2}}{16}+\frac{x'^{2}-2\sqrt{3}x'y'+3y'^{2}}{4}=1$

ゆえに　求める楕円を原点のまわりに30°だけ回転して得られる曲線の方程式は

$7x'^{2}-6\sqrt{3}x'y'+13y'^{2}-16=0$

(3)

点P(x, y)を原点のまわりに45°回転した点を点P'(x', y')とすると、点P(x, y)は点P'(x, y)を原点のまわりに-45°だけ回転した点で、

x=x'cos 45°+y'sin 45°

y=-x'sin 45°+y'cos 45°

すなわち

$x=\frac{1}{\sqrt{2}}(x'+y')$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}}(-x'+y')$

よって点P(x, y)が曲線

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$

$x+y+2\sqrt{xy}=1$

$(x+y-1)^{2}=4xy$

$x^{2}+y^{2}+1-2xy-2y-2x=0$

上にあるという条件をx', y'で表せば、

$x'^{2}+y'^{2}+1+x'^{2}-y'^{2}-\frac{4}{\sqrt{2}}y'=0$

よって求める曲線を原点のまわりに45°だけ回転して得られる曲線の方程式は

$2\sqrt{2}y=2x^{2}+1$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}}x^{2}+1$

$(-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x\leq\frac{1}{\sqrt{2}})$

(放物線)

Kamimura's blog

2011年1月18日火曜日