数学学習の記録 422 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), アフィン変換

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.2(平面の1次変換), アフィン変換の問12, 13を解いてみる。

問12

fはアフィン変換なので、

$f(\vec{p})=g(\vec{p})+\vec{k}$

(gは1次変換)

とおく。するとgの線形性、r+s=1により、

左辺

$=rg(\vec{p_{1}})+sg(\vec{p_{2}})+(r+s)\vec{k}$

$=r(g(\vec{p_{1}})+\vec{k})+s(g(\vec{p_{2}})+\vec{k})$

=右辺

(証明終)

問13

$g(\vec{p})=f(\vec{p})-f(\vec{0})$

とgを定める。

任意のベクトル $\vec{p}$ と任意の実数rに対し、

$g(r\vec{p})=g(r\vec{p}+(1-r)\vec{0})$

$=f(r\vec{p}+(1-r)\vec{0})-f(\vec{0})$

$=rf(\vec{p})+f(\vec{0})-rf(\vec{0})-f(\vec{0})$

$=r(f(\vec{p})-f(\vec{0}))$

$=rg(\vec{p})$

また、

$\vec{p_{1}},\ \vec{p_{2}}$

を任意の2つのベクトルとするとき、

$g(\vec{p_{1}}+\vec{p_{2}})=f(\vec{p_{1}}+\vec{p_{2}})-f(\vec{0})$

$=f(\frac{1}{2}(2\vec{p_{1}})+\frac{1}{2}(2\vec{p_{2}}))-f(\vec{0})$

$=\frac{1}{2}(f(2\vec{p_{1}})-f(\vec{0}))+\frac{1}{2}(f(\vec{2p_{2}})-f(\vec{0}))$

$=\frac{1}{2}(g(2\vec{p_{1}})+g(2\vec{p_{2}}))$

$=\frac{1}{2}(2g(\vec{p_{1}})+2g(\vec{p_{2}}))$

$=g(\vec{p_{1}})+g(\vec{p_{2}})$

よってgは1次変換なので、fはアフィン変換である。

(証明終)

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