数学学習の記録 424 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 直線の像の求め方

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 直線の像の求め方の問16を解いてみる。

問16

(1)

問題の直線の方程式において、y=0とおけばx=3、またx=0とおけばy=3/2。よって直線は(3,0), (0, 3/2)を通る。そして、

1	3
2	4

×

3

0

=

3

6

1	3
2	4

×

0

3/2

=

9/2

6

よって求める直線は(3, 6), (9/2,6)を通る。よって求める直線の方程式は

y=6

(2)

x軸は点(0, 0)を通り、方向ベクトルが(1,0)の直線なので、tを媒介変数として

x=t, y=0

と媒介変数表示することが出来る。したがって直線上の点P(x, y)のfに夜像をP'(x', y')とすれば、

x'

y'

=

1	3
2	4

×

x

y

=

1	3
2	4

×

t

0

=

t

2t

すなわち、

x'=t, y'=2t

この式からtを消去すれば、y'=2x'。ゆえに求める直線の方程式はy=2x。

(3)

一般に点P(x, y)の問題の1次変換fによる像を点P'(x',y')とすれば、

x'

y'

=

1	3
2	4

×

x

y

よって

x

y

=-1/2 ×

4	-3
-2	1

×

x'

y'

すなわち、

x=-1/2 (4x'-3y'), y=-1/2 (-2x'+y')

そこで、点P'が直線y=x-6上にあるという条件に上記を大入試、この条件をx', y'で表して整理する。

-2x'+y'=4x'-3y'+12

6x'-4y'+12=0

3x'-2y'+6=0

よって求める像となる直線の方程式は

3x-2y+6=0

(4)

問題の直線は点(0, -4)を通り、方向ベクトルが(1, 3)の直線なので、tを媒介変数として

x=t, y=3t-4

と媒介変数表示することが出来る。したがって直線上の点P(x, y)の1次変換fに夜像をP'(x',y')とすれば、

x'

y'

=

1	3
2	4

×

x

y

=

1	3
2	4

×

t

3t-4

=

10t-12

14t-16

すなわち

x'=10t-12

y'=14t-16

これからtを消去する。

y'=70t-80

7x'=70t-84

7x'-y'+4=0

よって求める像となる直線の方程式は

7x-y+4=0