"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 1次変換によって面積はどのように変わるか？の問20を解いてみる。
問20
(1)
問題の2つのベクトルの1次変換fによる像はそれぞれ、
| 4 |
| 0 |
| -4 |
| 12 |
この2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積は
abs det
| 4 | -4 |
| 0 | 12 |
=48
また問題の2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積は
abs det
| 3 | 0 |
| 2 | 4 |
=12
1次変換fの行列式は
det f=det
| 2 | -1 |
| -2 | 3 |
=4
すなわち、
12×4=48
よって、|det f|倍になっている。
(2)
問題の2つのベクトルの1変換fによる像はそれぞれ
| 1 |
| 1 |
| 9 |
| -15 |
よってこの2つのベクトルで張られる平行四辺形の面積は
abs det
| 1 | 9 |
| 1 | -15 |
=24
また、問題の2つのベクトルによって張られる平行四辺形の面積は
abs det
| 1 | 3 |
| 1 | -3 |
=6
また、(1)と同様に1次変換fの行列式は4。よって
6×|det f|=24
以上より、|det f|倍になっていることが確認できた。
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