数学学習の記録 428 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 1次変換で2次曲線は2次曲線に移る

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第22章(図形の変換方法 - 線形写像・1次変換)の22.3(1次変換によるいろいろな図形の像), 1次変換で2次曲線は2次曲線に移るの問21, 22を解いてみる。

問21

求める単位上の点を(x, y)とおくと、

2	1
1	2

$\frac{3}{\sqrt{2}}$

よって

$2x+y=\frac{3}{\sqrt{2}},\ x+2y=\frac{3}{\sqrt{2}}$

これを解くと、

$-3y=\frac{3}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}},\ x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって求める像であるだ円の長軸上の頂点に移される単位円上の点は

$(\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{2}})$

求める単位円上の点を(x, y)とおくと、

2	1
1	2

$-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって

$2x+y=-\frac{1}{\sqrt{2}},\ x+2y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

これを解くと、

$-3y=-\frac{3}{\sqrt{2}}$

$y=\frac{1}{\sqrt{2}},\ x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって求める短軸上の頂点に移される単位円上の点は

$(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$

もう1つの短軸上の頂点に移される単位円上の点も同様に求め、

$(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$

となる。

問22

点P(x, y)の問題の行列の表す1次変換に夜像をP'(x',y')とすると、

2	1
1	2

よって

2x+y=x', x+2y=y'

これを、x, yについて解くと、

-3y=x'-2y'

y=-1/3 (x'-2y')

x=2/3 (x'-2y') + y'=1/3 (2x'-y')

x, yが問題の双曲線

$x^{2}-y^{2}=1$

上にあるとする、すなわち上記のx, yをこの方程式に代入して整理すると、

$(-\frac{1}{3}(2x'-y'))^{2}-(\frac{1}{3}(x'-2y'))^{2}=1$

$x'^{2}-y'^{2}=3$

よって問題の行列の表す1次変換によって問題の双曲線は、双曲線

$x^{2}-y^{2}=3$

に移る。

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