2011年1月30日日曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問2, 3, 4を解いてみる。



問2

問題の仮定、

a\equiv b\ (mod\ n)

より、

a-bはnの倍数。

(1)

(a-b)+nkはnの倍数より、

a\equiv b+nk\ (mod\ n)

(2)

ak-bk=(a-b)k

よって

ak\equiv bk\ (mod\ nk)

(3)

nはdの倍数なので、a-bはdの倍数。


問3

問題の仮定より、a-bは

n_{1},\ n_{2},\cdot\ \cdot\ \cdot\ \ ,n_{k}

で割り切れる。よってこれらの数の最小公倍数nで割り切れる。


問4

r!\cdot _{p}C_{r}

=r!\cdot\frac{p(p-1)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (p-r+1)}{r!}

=p(p-1)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (p-r+1)

となり、これはpで割り切れる。また、r!は仮定の

1\leq r\leq p-1

よりpで割り切れない。よって、組合せの数、

_{p}C_{r}

はpで割り切れる。

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