数学学習の記録 433 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問2, 3, 4

2011年1月30日日曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問2, 3, 4を解いてみる。

問2

問題の仮定、

$a\equiv b\ (mod\ n)$

より、

a-bはnの倍数。

(1)

(a-b)+nkはnの倍数より、

$a\equiv b+nk\ (mod\ n)$

(2)

ak-bk=(a-b)k

よって

$ak\equiv bk\ (mod\ nk)$

(3)

nはdの倍数なので、a-bはdの倍数。

問3

問題の仮定より、a-bは

$n_{1},\ n_{2},\cdot\ \cdot\ \cdot\ \ ,n_{k}$

で割り切れる。よってこれらの数の最小公倍数nで割り切れる。

問4

$r!\cdot _{p}C_{r}$

$=r!\cdot\frac{p(p-1)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (p-r+1)}{r!}$

$=p(p-1)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (p-r+1)$

となり、これはpで割り切れる。また、r!は仮定の

$1\leq r\leq p-1$

よりpで割り切れない。よって、組合せの数、

$_{p}C_{r}$

はpで割り切れる。