"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード など"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問2, 3, 4を解いてみる。
問2
問題の仮定、
より、
a-bはnの倍数。
(1)
(a-b)+nkはnの倍数より、
(2)
ak-bk=(a-b)k
よって
(3)
nはdの倍数なので、a-bはdの倍数。
問3
問題の仮定より、a-bは
で割り切れる。よってこれらの数の最小公倍数nで割り切れる。
問4
となり、これはpで割り切れる。また、r!は仮定の
よりpで割り切れない。よって、組合せの数、
はpで割り切れる。
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