数学学習の記録 434 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問5, 6, 7

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), 合同式の除法の問5, 6, 7を解いてみる。

問5

二項定理により、

$(a+b)^{p}=\sum_{r=0}^{p}{_{p}Cra^{p-r}b^{r}}$

$=a^{p}+\sum_{r=1}^{p-1}{_{p}C_{r}a^{p-r}b^{r}}+b^{p}$

よって、

$(a+b)^{p}-(a^{p}+b^{p})=\sum_{r=1}^{p-1}{_{p}C_{r}a^{p-r}b^{r}}$

問4より、各項はpで割り切れる、すなわち上記の式は素数pで割り切れる。ゆえに、

$(a+b)^{p}\equiv a^{p}+b^{p}\ (mod\ p)$

(証明終)

問6

n=kのとき成り立つと仮定すると、

$(a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{k}+a_{k+1})^{p}$

$=((a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{k})+a_{k+1})^{p}$

$\equiv(a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{k})^{p}+a_{k+1}^{p}$

$\equiv a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{k+1}^{p}\ (mod\ p)$

よって数学的帰納法より、問題の合同式は成り立つ。

(証明終)

問7

a=0のときは

1-1=0

でpで割り切れる。a>0のとき、

$p-1\equiv-1\ (mod\ p)$

$p-2\equiv-2\ (mod\ p)$

...

$p-a\equiv-a\ (mod\ p)$

のの各辺を掛けると、

$(p-1)(p-2)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (p-a)\equiv (-1)^{a}a!\ (mod\ p)$

$_{p-1}C_{a}a!\equiv(-1)^{a}a!\ (mod\ p)$

また、仮定よりpは素数で、

$1\leq a\leq p-1$

より、

(a!,p)=1

ゆえに、

$_{p-1}C_{a}\equiv(-1)^{a}\ (mod\ p)$

となる。

(証明終)

Kamimura's blog