数学学習の記録 437 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), nを法とする既約剰余類, オイラーの定理, フェルマーの定理

2011年2月3日木曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), nを法とする既約剰余類, オイラーの定理, フェルマーの定理の問10を解いてみる。

問10

n>0のとき、

$n\equiv n\ (mod\ p)$

より、問題の合同式の両辺を割れば、

$n^{p-1}\equiv 1\ (mod\ p)$

n=0のときは明らか。

n<0のとき、

n=-m

とおくと、

$n^{p}=(-m)^{p}=-m^{p}\equiv-m=n\ (mod\ p)$

上記と同様のこの合同式の両辺をnで割れば、

$n^{p-1}\equiv 1\ (mod\ p)$

ゆえに、フェルマーの定理は証明された。

(証明終)